Pour $A=\left]-2,5\right]$, tout $M\geq5$ est un majorant et tout $m\leq-2$ est un minorant : $A$ est donc bornée.

Maximum et minimum

Soit $A\subset\mathbb{R}$, $A\neq\varnothing$.

$M\in A$ est le maximum de $A$, noté $M=\max A$, lorsque $\forall x\in A,\ x\leq M$.
$m\in A$ est le minimum de $A$, noté $m=\min A$, lorsque $\forall x\in A,\ m\leq x$.

Remarque

Un maximum est un majorant qui appartient à l'ensemble. Un minimum est un minorant qui appartient à l'ensemble.

\[ [a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}. \]

Pour $A=[-2,4[$, on a $\min A=-2$. En revanche $A$ n'a pas de maximum puisque $4\notin A$ — on verra que $\sup A=4$.

Intervalles de $\mathbb{R}$

Définition — segment

Soient $a,b\in\mathbb{R}$ avec $a\leq b$. Le segment d'extrémités $a$ et $b$ est

Définition — intervalle

$I\subset\mathbb{R}$ est un intervalle lorsque

\[ \forall x,y\in I,\qquad x\leq y \Longrightarrow [x,y]\subset I, \]

c'est-à-dire : $x,y\in I$ et $x\leq z\leq y$ entraînent $z\in I$.

Les intervalles de $\mathbb{R}$ sont notamment

\[ [a,b],\quad [a,b[,\quad ]a,b],\quad ]a,b[,\quad ]-\infty,a],\quad ]-\infty,a[,\quad [a,+\infty[,\quad ]a,+\infty[, \]

ainsi que $\mathbb{R}$, $\varnothing$ et $\{a\}$.

Exemple — un ensemble qui n'est pas un intervalle

$[-2,-1]\cup[1,3]$ n'est pas un intervalle : on a $-1$ et $1$ dans cet ensemble, et $-1<0<1$, mais $0\notin[-2,-1]\cup[1,3]$.

Borne supérieure et borne inférieure

Définition — borne supérieure

Soit $A\subset\mathbb{R}$ non vide et majorée. La borne supérieure de $A$, notée $\sup A$, est le plus petit des majorants de $A$.

Ainsi $M=\sup A$ signifie : $\forall x\in A,\ x\leq M$, et tout réel strictement inférieur à $M$ n'est pas un majorant de $A$.

Définition — borne inférieure

Soit $A\subset\mathbb{R}$ non vide et minorée. La borne inférieure de $A$, notée $\inf A$, est le plus grand des minorants de $A$.

\[ \boxed{\inf A=0} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\sup A=2}, \]

Pour $A=]0,2[$,

alors que $0\notin A$ et $2\notin A$ : $A$ n'a ni minimum ni maximum.

Bornes des intervalles

Pour $a< b$,

\[ \sup[a,b]=\sup[a,b[=\sup]a,b]=\sup]a,b[=b, \qquad \inf[a,b]=\inf[a,b[=\inf]a,b]=\inf]a,b[=a, \] \[ \sup]-\infty,b]=\sup]-\infty,b[=b, \qquad\text{et}\qquad \inf[a,+\infty[=\inf]a,+\infty[=a. \]

Axiome de la borne supérieure

Axiome de complétude de $\mathbb{R}$

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ possède une borne supérieure :

\[ A\neq\varnothing,\quad A\text{ majorée} \quad\Longrightarrow\quad \exists\,\sup A\in\mathbb{R}. \]

De même, toute partie non vide et minorée possède une borne inférieure.

Caractérisation de la borne supérieure/inférieure

Soit $A\subset\mathbb{R}$ non vide et majorée. Alors $\boxed{M=\sup A}$ si et seulement si

\[ \begin{cases} \forall x\in A,\quad x\leq M,\\[1mm] \forall\varepsilon>0,\quad \exists x_\varepsilon\in A \text{ tel que } M-\varepsilon< x_\varepsilon. \end{cases} \]

La seconde condition dit que, pour tout $\varepsilon>0$, $M-\varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$. De façon symétrique, $\boxed{m=\inf A}$ si et seulement si $\forall x\in A,\ m\leq x$ et $\forall\varepsilon>0,\ \exists x_\varepsilon\in A,\ x_\varepsilon< m+\varepsilon$.

Propriété — passage à la borne

Soit $A\subset\mathbb{R}$ non vide. Si $\forall x\in A,\ x\leq a$, alors $\boxed{\sup A\leq a}$. De même, si $\forall x\in A,\ x\geq a$, alors $\boxed{\inf A\geq a}$.

Exercice d'application

Exercice classique — sup et inf

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\mathbb{R}$ telles que $A\subset B$.

1.Montrer que si $B$ est majorée, alors $\sup A\leq\sup B$.

2.Montrer que si $B$ est minorée, alors $\inf A\geq\inf B$.

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb{R},\quad \exists n\in\mathbb{N},\quad n>x. } \]

On considère $\displaystyle A=\left\{(-1)^n+\frac1n \;\middle|\; n\in\mathbb{N}^*\right\}$.

1.Déterminer $\sup A$.

2.Déterminer $\inf A$.

3.$A$ possède-t-il un maximum ?

4.$A$ possède-t-il un minimum ?

Propriété d'Archimède et partie entière

Propriété d'Archimède

Pour tout réel $x$, il existe un entier naturel $n$ tel que

\[ \boxed{\frac1n<\varepsilon.} \]

Par l'absurde, si $\mathbb{N}$ était majoré, il aurait (axiome de la borne supérieure) une borne supérieure $M=\sup\mathbb{N}$. Alors $M-1$ n'est pas un majorant de $\mathbb{N}$, donc il existe $n\in\mathbb{N}$ tel que $M-1< n$, soit $M< n+1$. Or $n+1\in\mathbb{N}$, ce qui contredit le fait que $M$ majore $\mathbb{N}$. Ainsi $\mathbb{N}$ n'est pas majoré. $\blacksquare$

Corollaire

Pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n\in\mathbb{N}^*$ tel que

Démonstration. On a $\frac1\varepsilon>0$, donc par Archimède il existe $n\in\mathbb{N}$ tel que $n>\frac1\varepsilon$, soit $\frac1n<\varepsilon$ puisque $n>0$.

Partie entière

Proposition-définition

Pour tout réel $x$, il existe un unique entier $n\in\mathbb{Z}$ tel que

\[ \boxed{n\leq x< n+1.} \]

Cet entier, appelé partie entière de $x$, est noté $\boxed{\lfloor x\rfloor}$, et vérifie $\boxed{\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1}$.

Exemples \[ \lfloor3.7\rfloor=3,\qquad \lfloor2\rfloor=2,\qquad \lfloor-1.5\rfloor=-2,\qquad \lfloor-3\rfloor=-3. \]

Remarque

Pour un nombre négatif, la partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au nombre : par exemple $-2\leq-1.5<-1$, donc $\lfloor-1.5\rfloor=-2$.

Propriétés \[ \boxed{x-1<\lfloor x\rfloor\leq x} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lfloor n\rfloor=n\ \ (n\in\mathbb{Z}).} \]

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{Z}$, $\boxed{\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n}$, et $x\leq y\Longrightarrow\boxed{\lfloor x\rfloor\leq\lfloor y\rfloor}$ (croissance).

Exercice d'application

Approximations décimales d'un réel

Montrer que $x\longmapsto\lfloor x\rfloor$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Pour $x\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$, en posant

\[ a_n=\frac{\lfloor10^nx\rfloor}{10^n} \qquad\text{et}\qquad b_n=\frac{\lfloor10^nx\rfloor+1}{10^n}, \]

on a $a_n\leq x< b_n$ et $b_n-a_n=10^{-n}$. $a_n$ est l'approximation décimale par défaut de $x$ à $10^{-n}$, $b_n$ l'approximation par excès.

\[ \boxed{0.333\leq\frac13<0.334.} \]

Pour $x=\frac13=0.3333\ldots$ : $a_0=0,\ b_0=1$ ; $a_1=0.3,\ b_1=0.4$ ; $a_2=0.33,\ b_2=0.34$ ; $a_3=0.333,\ b_3=0.334$. Ainsi

Densité dans $\mathbb{R}$

Définition

$A\subset\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ lorsque

\[ \boxed{ \forall x,y\in\mathbb{R},\quad x< y \Longrightarrow \exists a\in A,\quad x< a< y. } \]

Autrement dit, entre deux réels distincts, on trouve toujours un élément de $A$.

Densité des nombres décimaux

$\mathbb{Z}$ n'est pas dense dans $\mathbb{R}$ : il n'existe aucun entier $n$ tel que $\frac14< n<\frac12$.

On note $\displaystyle\mathbb{D}=\left\{\frac{k}{10^n}\;\middle|\;k\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N}\right\}$ l'ensemble des nombres décimaux.

$\mathbb{D}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

\[ \boxed{x<\frac{k}{10^n}< y,} \]

Soient $x< y$. Comme $y-x>0$, Archimède donne $n\in\mathbb{N}$ tel que $\frac1{10^n}< y-x$. Posons $k=\lfloor10^nx\rfloor+1$. Par définition de la partie entière, $10^nx< k$, donc $x<\frac{k}{10^n}$. D'autre part $k\leq10^nx+1$, donc $\frac{k}{10^n}\leq x+\frac1{10^n}< y$. Ainsi

et $\frac{k}{10^n}\in\mathbb{D}$ : $\mathbb{D}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Densité des rationnels

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

\[ \boxed{\mathbb{Q}\text{ est dense dans }\mathbb{R}.} \]

Comme $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$ et $\mathbb{D}$ est dense dans $\mathbb{R}$, pour tous $x< y$ il existe $d\in\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$ tel que $x< d< y$. Donc

Densité des irrationnels

$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

\[ \boxed{ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \text{ est dense dans }\mathbb{R}. } \]

Soient $x< y$. Alors $x-\sqrt2< y-\sqrt2$, et par densité de $\mathbb{Q}$, il existe $r\in\mathbb{Q}$ tel que $x-\sqrt2< r< y-\sqrt2$, soit $x< r+\sqrt2< y$. Si $r+\sqrt2\in\mathbb{Q}$, alors $\sqrt2=(r+\sqrt2)-r\in\mathbb{Q}$, ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt2$. Donc $r+\sqrt2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, et

Droite réelle achevée

Définition

La droite réelle achevée est l'ensemble

\[ \boxed{ \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}. } \]

L'ordre usuel de $\mathbb{R}$ est prolongé en posant $\boxed{-\infty< x<+\infty}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, d'où $\min(\overline{\mathbb{R}})=-\infty$ et $\max(\overline{\mathbb{R}})=+\infty$.

Opérations avec l'infini

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $x+(+\infty)=+\infty$ et $x+(-\infty)=-\infty$.

Si $x>0$ : $x(+\infty)=+\infty$, $x(-\infty)=-\infty$. Si $x<0$ : $x(+\infty)=-\infty$, $x(-\infty)=+\infty$.

Dans le cadre des limites, on utilise aussi $\displaystyle\frac1{+\infty}=0$ et $\displaystyle\frac1{-\infty}=0$.

Expressions indéterminées

Les expressions

\[ +\infty-\infty, \qquad 0\times(\pm\infty), \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac00 \]

ne se calculent pas directement : dans l'étude des limites, elles correspondent à des formes indéterminées.

Exercices d'approfondissement

Exercice 1

Soit $\displaystyle A=\left\{\frac{n}{n+1}\;\middle|\;n\in\mathbb{N}^*\right\}$.

1.Montrer que $A$ est majorée.

2.Déterminer $\sup A$.

3.$A$ possède-t-il un maximum ?

4.Déterminer $\inf A$ et $\min A$.

Exercice 2

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ tels que $x< y$. Montrer qu'il existe une infinité de nombres rationnels dans $]x,y[$.

Exercice 3